sábado, 6 de mayo de 2023

LEYES LÓGICAS TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS – LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Leyes lógicas

Son equivalencias lógicas que nos permiten simplificar una proposición y expresarlo en forma más sencilla.

Ejemplo:

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1) Leyes de involución o doble negación:

Negar una proposición dos veces equivale a la afirmación de la misma proposición.

~ (~ p )  º p

Ejemplo 1

~ (~ q )  º q

Ejemplo 2

~ [ ~ ( q Ù r )] º q Ù r

2) Leyes de idempotencia:

Significa igual valor; esto quiere decir que, al operar una misma proposición con los conectivos de conjunción o disyunción inclusiva, equivale a la misma proposición.

a) p Ù p º p

Ejemplo

1. r Ù r º r

2. ~ q Ù ~ q º  ~ q

b) p Ú p º p

Ejemplo

1. t Ú t º t

2. ( ~ p ® q ) Ú ( ~ p ® q ) º ~ p ® q

3) Leyes del tercio excluido:

Significa que, al operar una proposición con su contrario, el resultado es falso con la conjunción y verdadero con la disyunción inclusiva.

a) p Ù ~ p º  F

Ejemplos

1. q Ù ~ q º  F

2. (  p Ú q ) Ù  ~ (  p Ú q ) º F

b) p Ú ~ p º  V

Ejemplos

1. r Ú ~ r º  V

2. (  p ® q ) Ú ~ (  p ® q ) º V

4) Leyes conmutativas:

Conmutar significa cambiar de lugar u orden.

a) p Ù  q º  q Ù  p

Ejemplos

1. ~ p Ù q º q Ù ~ p

2. (  p Ú ~ q ) Ù  r º r Ù  (  p Ú ~ q )

b) p Ú  q º  q Ú  p

Ejemplos

1. ~ p Ú ~ q º  ~ q Ú ~ p

2. p  Ú (  q ® r )  º (  q ® r )  Ú p

c) p « q º  q «  p

Ejemplo

~ s « t º  t «  ~ s

5) Leyes asociativas:

Asociar significa agrupar de diferente manera.

a) p Ù  q Ù r º  ( p Ù  q ) Ù r º  p Ù  ( q Ù r )   

Ejemplos

1. p Ù ~ q Ù r º  ( p Ù  ~ q ) Ù r

2. p Ù ~ q Ù r º  p Ù ( ~ q Ù r )

b) p Ú  q Ú r º  ( p Ú  q ) Ú r º  p Ú  ( q Ú r )  

Ejemplos

1. ~ p Ú ~ q Ú r º  ( ~ p Ú ~ q ) Ú r

2. ~ p Ú ~ q Ú r º   ~ p Ú ( ~ q Ú r )

c) p « ( q « r ) º ( p « q ) « r

~ p « ( q « ~ r ) º (~ p « q ) « ~ r

6) Leyes distributivas:

a) p Ù  ( q Ú r ) º  ( p Ù  q ) Ú ( p Ù  r )  

Ejemplo

 p Ù  ( ~ q Ú r ) º  ( p Ù ~ q ) Ú ( p Ù  r ) 

b) p Ú  ( q Ù r ) º  ( p Ú  q ) Ù ( p Ú  r )  

Ejemplo

~ p Ú  ( ~ q Ù r ) º  ( ~ p Ú ~ q ) Ù ( ~ p Ú  r ) 

c) p ®  ( q Ù r ) º  ( p ®  q ) Ù ( p ®  r )  

Ejemplo

~ p ®  ( ~ q Ù r ) º  ( ~ p ® ~ q ) Ù ( ~ p ®  r ) 

d) p ®  ( q Ú r ) º  ( p ®  q ) Ú ( p ®  r ) 

Ejemplo

p ®  ( q Ú ~ r ) º  ( p ®  q ) Ú ( p ® ~ r ) 

7) Leyes de De Morgan:

Al negar una conjunción o disyunción de dos proposiciones obtendremos la negación de cada una de estas, pero cambiando la conjunción por la disyunción y viceversa.

a) ~ ( p Ù q ) º  ~ p Ú ~ q

Ejemplos

1. ~ ( r Ù s ) º  ~ r Ú ~ s

2. ~ ( p Ù ~ q ) º  ~ p Ú ~ (~ q)

                          º  ~ p Ú  q

b) ~ ( p Ú q ) º  ~ p Ù ~ q

Ejemplos

1. ~ ( r Ú t ) º  ~ r Ù ~ t

2. ~ ( ~ p Ú q ) º  ~ (~ p) Ù ~ q

                          º  p Ù  ~ q

8) Leyes condicionales:

a) p ®  q  º  ~ p Ú q

Ejemplo

~ p ® q º  ~ (~ p) Ú q

               º  p Ú q

b) ~ ( p ®  q ) º  p Ù ~ q

Ejemplo

~ (p ® ~ q ) º  p Ù  ~ ( ~ q )

                      º  p Ù  q

 

9) Leyes bicondicionales:

a) p «  q  º  (p ® q) Ù (q ® p)

Ejemplos

1. ~ p «  q  º  (~ p ® q) Ù (q ® ~ p)

2. ~ r « ~ s  º  (~ r ® ~ s) Ù (~ s ® ~ r)

b) p «  q  º  (p Ù q) Ú  (~ p Ù  ~ q)

Ejemplos

p «  ~ q  º  (p Ù ~ q) Ú [ ~ p Ù ~(~q)]

                 º  (p Ù ~ q) Ú ( ~ p Ù q)

10) Leyes de absorción:

ABSORCIÓN TOTAL

a) p Ù (p  Ú q)  º  p

Ejemplos

1. ~ p Ù (  ~ p Ú q )  º  ~ p

2. q Ù (  r Ú q )  º  q

b) p Ú (p  Ù q)  º  p

Ejemplos

1. p Ú (  p Ù ~  q )  º  p

2. ~ q Ú (  p Ù ~  q )  º  ~ q

ABSORCIÓN PARCIAL

c) p Ù (~ p  Ú q)  º  p Ù q

Ejemplo

~ q Ù (  q Ú ~  r )  º  ~ q Ù ~ r

d) p Ú (~ p Ù q)  º  p Ú q

Ejemplo

r  Ú (  ~  r  Ù ~  s )  º  r Ú ~ r

11) Leyes lógicas para la disyunción exclusiva:

a) p D q  º  ( p Ù ~ q ) Ú ( q Ù ~ p )

Ejemplo

p D ~ q  º  [ p Ù ~ (~q ) ] Ú ( ~ q Ù ~ p )

               º  (p Ù q ) Ú ( ~ q Ù ~ p )

 

b) p D q  º  ( p Ú q ) Ù ~ ( p Ù q )

Ejemplo

~ p D q  º  ( ~ p  Ú q ) Ù ~ ( ~ p Ù q )

12) Leyes lógicas adicionales:

a) p Ù F º  F

Ejemplo

(p ® ~ q) Ù F   º  F

b) p Ù V º  p

Ejemplo

(p Ú ~ q) Ù V   º  p Ú ~ q

c) p Ú F º  p

Ejemplo

(~ r Ù s) Ú F º  ~ r Ù s

d) p Ú V º  V

Ejemplo

(~ p « q) Ú Vº  V

e) VÚ V º  V

f) F Ú F º  F

 

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SIMPLIFICACION DE PROPOSICIONES LOGICAS Ejercicios Resueltos - Como SIMPLIFICAR PROPOSICIONES Logicas – Simplificar Proposiciones Logicas

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